CONTANDO EN BABILONIA
Michael
Fowler, University of Virginia
Translated
by Lydia Alvarez, Universidad Autónoma de Baja California
Indice
de clase y visión general del curso
El primer lenguaje escrito
Sumeria
y Babilonia,
localizados en el Irak de hoy, fueron probablemente los primeros pueblos en
contar con lenguaje escrito, lo que inició en Sumeria aproximadamente en 3100
AC. El lenguaje continuó usándose hasta los tiempos de Cristo, pero después se
olvidó por completo, incluso el nombre “Sumeria” permaneció desconocido hasta
el siglo diecinueve. Desde los primeros tiempos, este lenguaje se usó para
documentos administrativos y de negocios. Después, se usó para escribir
epopeyas, mitos, etc., que probablemente habían sido previamente transmitidos
por tradición oral, como la Epopeya de Gigalmesh.
Pesos y medidas: ¡60s por
todos lados!
En
Babilonia, aproximadamente en 2500 AC, los pesos y medidas fueron
estandarizados por edicto real. Esto fue una decisión práctica de negocios, que
sin duda eliminó mucha tensión en los mercados.
La
unidad de longitud más pequeña era el dedo, de poco más de centímetro y medio.
El codo tenía 30 dedos. La vara tenía
120 codos, esto es, 3600 dedos. El río tenía 180 varas, aproximadamente diez
kilómetros.
La
unidad de peso más pequeña era el grano (de aproximadamente 45 miligramos), el
siclo tenía 180 granos (aproximadamente 8 gramos) y el talento tenía 3600
siclos (aproximadamente 30 kilogramos).
Para
el 2000 AC, había un calendario con un año de 360 días, 12 meses de 30 días
cada uno, con un mes extra insertado más o menos cada seis años para mantener
la sincronización con las observaciones astronómicas. (De acuerdo a Dampier, A History of Science, Cambridge, página
3, el día estaba dividido en horas, minutos y segundos y el reloj de sol se
había inventado. Él implica que esto era así en aproximadamente 2000 AC. Él no
dice cuantas horas hay en un día, y Neugebauer (The Exact Sciences in Antiquity, Dover, página 86) dice que los
egipcios fueron los primeros en fijar el número en veinticuatro).
El círculo se dividía en
360 grados.
Puedes notar que todas estas unidades de medida incluyen con frecuencia múltiplos de 60—obviamente, el 60 era el número favorito de los babilonios.
Sistemas numéricos: el
nuestro, el romano y el babilónico
Para
apreciar lo que constituye un buen sistema aritmético, vale la pena revisar
brevemente nuestro propio sistema y el de los romanos. El sistema romano es en
un aspecto más primitivo que el nuestro— X siempre significa 10, C significa
100 e I significa 1. En contraste, en nuestro sistema 1 puede significar 1 ó 10
ó 100 dependiendo de dónde aparece en la expresión— el 1 en el 41 significa una
cantidad diferente del 1 en 145, por ejemplo. Se dice que el valor de un
símbolo tiene “dependencia posicional”— su valor real depende de dónde aparece
en la expresión. Nuestra convención, como bien sabes, es que el número a la
derecha es el número de 1s, el número a su izquierda inmediata es el número de
10s, a la izquierda de éste viene el número de 10x10s, después el de 10x10x10s
y así sucesivamente. Nosotros usamos el mismo juego de símbolos, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 0 en cada una de estas posiciones, así que el valor de semejante
símbolo en un número depende de su posición dentro de ese mismo número.
Para
expresar cantidades menores de 1, nosotros usamos la notación decimal. Nosotros
ponemos un punto (en algunos países se usa una coma) y se entiende que el
número a la inmediata izquierda del punto es el número de 1s, aquél a la
inmediata derecha es el número de décimos (10-1 en notación
matemática), el siguiente número es el número de centésimos (10-2s)
y así sucesivamente. Con esta convención ½ se escribe .5 ó 0.5 y 1/5 es .2.
Desafortunadamente, 1/3 se vuelve .33333…, bastante inconveniente, y
similarmente 1/6 y 1/7 continúan para siempre. (En realidad, este sistema
decimal con el punto es, históricamente hablando, una invención muy reciente—
fue creado por un escocés llamado Napier hace aproximadamente 400 años.
Para
regresar a la comparación del sistema romano con el nuestro, debes notar que
los romanos no tienen un 0, cero. Esta es la razón por la que es importante
tener un símbolo diferente para diez y para uno, X e I se distinguen
fácilmente. Si nosotros no tuviéramos un cero, uno y diez se representarían por
1, aunque podríamos ser capaces de distinguirlos en una columna de cifras
colocándolos en columnas diferentes.
Después
de estos comentarios preliminares, estamos listos para analizar el sistema
babilónico. Está escrito en tabletas
de arcilla— ¡por eso aún tenemos copias originales circulando!
Su sistema numérico tiene
sólo dos elementos básicos, el primero de los cuales resulta claro al examinar
los primeros nueve números:
Evidentemente,
estos nueve números están todos construidos a partir de un elemento sencillo,
una marca fácilmente cincelada con el giro de un punzón en la arcilla fresca, y
el número de veces que se repite este elemento es el número representado.
Los números 10, 20, 30, 40,
50 se representan por los símbolos:
Es
claro que nuevamente tenemos una repetición simple de un elemento básico, el
cual representaremos convenientemente por <, y de nuevo es una marca nada
difícil de hacer en la arcilla fresca. De este modo, cualquier número entre 1 y
59 se representa por medio de un símbolo del segundo diagrama seguido, por lo
general, de otro del primer diagrama, así que 32 se escribiría aproximadamente
<<<11.
Cuando
llegan al 60, los babilonios empiezan de nuevo en forma similar a como nosotros
empezamos de nuevo a partir del 10. Así, 82 se escribe 1<<11, donde el
primer 1 representa 60.
Así que el sistema babilónico está basado en el número 60 de la misma
forma en que el nuestro está basado en el 10. El nuestro se llama
sistema “decimal” el de ellos,
sistema “sexagesimal”.
Hay
algunos problemas reales con el sistema de números babilónicos, el principal es
que a nadie se le ocurrió tener un cero, así que sesenta, y uno, se ven exactamente iguales, esto es, ¡ambos se
representan por 1! En realidad, es todavía peor— ya que no hay punto decimal,
la forma de escribir ½, lo que nosotros escribimos 0.5 por cinco décimas, ellos
lo escribirían <<<, por treinta sexagésimas— pero sin cero, por
supuesto, y tampoco punto. Así, si vemos <<< en una tableta de
arcilla, no sabemos si significa ½, 30 ó para ese caso 30x60, esto es 1800.
En
realidad esto no es tan malo como parece—sesenta es un factor muy grande, y por
lo general es claro del contexto si <<< debe interpretarse como ½ ó
30. También, en columnas de cifras, un <<< que representa 30 se pone a
menudo a la izquierda de un <<< que representa ½.
Fracciones
En
transacciones comerciales de la vida real, la adición simple y aún la
multiplicación no son tan difíciles en la mayoría de los sistemas numéricos. La
parte difícil es la división, en otras palabras, trabajar con fracciones, y éstas aparecen todo el tiempo cuando los
recursos deben dividirse entre varios individuos. ¡El sistema babilónico es
maravilloso para las fracciones! Las
fracciones más comunes ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6 se representan todas por un número
simple (1/2=<<<, 1/3=<<, 1/5=<11, etc.) Esto es, estas
fracciones son números exactos de sexagésimos— sesenta es el número más pequeño
que se divide exactamente por 2, 3, 4, 5 y 6. Esto es un gran mejoramiento
sobre el sistema decimal, que tiene recurrencias infinitas para 1/3 y 1/6 y aún
¼ necesita dos cifras: .25.
(Por
supuesto, aún en Babilonia, tarde o temprano nos vemos forzados a pasar al
segundo número “sexagesimal”, el cual sería el número de sexagésimos de un
sexagésimo, esto es, de tresmilésimosexcentésimos. Por ejemplo, 1/8 es igual a
siete y medio sexagésimos, así que se escribiría con un siete seguido de un
treinta — por siete sexagésimos más treinta sexagésimos de un sexagésimo. Y,
1/7 es tanto un dolor de cabeza como lo es en nuestro propio sistema.
Antiguas tablas
matemáticas
Para
hacer su contabilidad tan poco dolorosa como fuera posible, los babilonios
tenían tablas matemáticas— tabletas de arcilla con listas completas de recíprocos. El recíproco de un número es
por lo que tienes que multiplicarlo para obtener uno, así que el recíproco de 2
es ½ escrito 0.5 en nuestro sistema, el recíproco de 5 es 1/5 escrito 0.2 y así
sucesivamente.
La
idea de tener tablas de recíprocos es que el dividir por algo es lo mismo que
multiplicar por el recíproco, así que al usar las tablas uno puede reemplazar
una división por una multiplicación, lo que es mucho más fácil.
Las tabletas de arcilla
sobrevivientes, ejemplos de las tabletas babilónicas de recíprocos se ven así:
11 <<< 111 << 1111 <11111 11111 <11 111111 < 11111111 1111111 <<< Hemos hecho un poco de trampa aquí
para evitar crear un archivo de gráficos— los números 4, 5, 6 etc. en ambas
columnas deberían en realidad tener sus 1s apilados como en la primer figura de
arriba.
¿Qué tan prácticos son los pesos y
medidas babilónicos?
Tomemos un ejemplo de cuanta comida
necesita una familia. Si consumen 120 siclos
de grano por día, esto representa 12 talentos
de grano por año (Un talento = 3600 siclos). Ahora imagina el cálculo
paralelo—si la familia consume un kilo de grano por día, ¿cuánto consume en
toneladas por año? ¡Si fueras transportado a la Babilonia de hace cuatro mil
años, difícilmente extrañarías tu calculadora!
(Ciertamente, el cálculo babilónico
es un poco más difícil cada seis años cuando ellos insertan un mes extra)
El teorema de Pitágoras mil años
antes de Pitágoras
Algunas de las tabletas de arcilla
descubiertas contienen listas de tríos de números, empezando con (3, 4, 5) y
(5, 12, 13) que son las longitudes de los lados de triángulos rectángulos, que
obedecen la fórmula de Pitágoras de la “suma de cuadrados”. En particular, una
tableta, ahora en una colección en Yale, muestra un dibujo de un cuadrado con
las diagonales marcadas y con las longitudes de las líneas marcadas sobre la
figura: el lado está marcado <<< que significa treinta (¿dedos?) de
largo, la diagonal está marcada: <<<<11 <<11111
<<<11111. Esto se traduce como 42, 25, 35 que significa 42+25/60
+35/3600. Usando estas cifras, el cociente de la longitud de la diagonal y la
longitud del lado del cuadrado resulta ser 1.414213…
Ahora, si usamos el teorema de
Pitágoras, la diagonal de un cuadrado forma con dos de los lados un triángulo
rectángulo, y si hacemos que los lados tengan longitud igual a uno, la longitud
de la diagonal al cuadrado es igual a 1+1, así que la longitud de la diagonal
es la raíz cuadrada de 2. La cifra en la tableta de arcilla es increíblemente
precisa—el verdadero valor es 1.414214…Por supuesto, este valor babilónico es
demasiado preciso para haber sido encontrado midiendo un dibujo cuidadoso
—obviamente fue verificado multiplicándolo aritméticamente por sí mismo, lo que
da un número muy cercano a 2.
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